# 互斥和獨立事件

互斥事件指的是兩個或多個事件不可能同時發生的情況。
如果事件 A 發生，那麼事件 B 就不可能發生，且反之亦然。

數學上，兩個互斥事件 A 和 B 的概率滿足 P (A ∩ B) = 0，即它們的交集為空集。

例如，擲一個骰子，事件 A 是出現奇數點數，事件 B 是出現偶數點數。
由於奇數和偶數是互斥的，因此在一次擲骰子的結果中，不能同時出現奇數和偶數。
因此，事件 A 和事件 B 是互斥事件。

獨立事件指的是兩個或多個事件的發生與其他事件的發生無關。
如果事件 A 發生與否不會影響事件 B 發生的概率。
數學上，獨立事件 A 和 B 滿足乘法規則： P (A ∩ B) = P (A) * P (B)。

例如，考慮一個從一副撲克牌中抽取兩張牌的實驗，事件 A 是第一張牌是紅心❤️，事件 B 是第二張牌是黑桃 ♠️。
由於每次抽取牌都是獨立的，第一張牌是紅心不會影響第二張牌是黑桃的概率，反之亦然。因此，事件 A 和事件 B 是獨立事件。

# 骰 1 個骰子的期望值怎麼算？

期望值是相加所有 (出現的值 * 出現的機率)

期望值 = (1 × 1/6) + (2 × 1/6) + (3 × 1/6) + (4 × 1/6) + (5 × 1/6) + (6 × 1/6) = 3.5

骰的次數越多總平均會接近期望值

期望值 3.5 表示在長期多次擲骰子的情況下，
擲骰子的平均結果將趨近於 3.5。

現在，我們需要確定符合要求的組合數。我們希望有一顆骰子是奇數，而另外兩顆骰子是偶數。這種情況下，有三種可能性：

對於每種可能性，我們需要計算出每顆骰子的組合數。奇數有三種選擇（1、3、5），而偶數有三種選擇（2、4、6）。

因此，根據組合計數的原理，我們可以計算滿足要求的組合數為：

接下來，我們需要考慮所有可能的組合數。
每顆骰子有六個點數，所以總共有 6 * 6 * 6 = 216 種組合。

最後，我們可以計算機率，即符合要求的組合數除以所有可能的組合數：

機率 = 符合要求的組合數 / 所有可能的組合數 = (27+27+27) / 216 = 3/8

我們有五個銅板，每個銅板都有兩種可能的結果：正面和反面。
因此，總共有 2^5 = 32 種不同的組合。

現在我們要計算有四個正面的組合數。在五個銅板中，選擇四個銅板出現正面，剩下的一個銅板出現反面。這種情況有 C (5, 4) = 5 種組合。

每個符合條件的組合中，有四個銅板出現正面，一個銅板出現反面。
也就是組合數 * (單個銅板出現正面的機率)^4 * (單個銅板出現反面的機率)^1

所以，機率 = C (5, 4) * p^4 * (1-p)^1 = 5 * (1/2)^4 * (1/2)^1 = 5/32

概率密度函數（PDF）用於描述連續隨機變量在不同取值點上的概率密度。
它可以看作是概率分布曲線的密度，通常是一個平滑的曲線。
PDF 的值代表了在特定取值點上的概率密度，即該點附近的概率密度值有多大。
PDF 的積分對應於在整個定義域上的概率，其積分值等於 1。

累積分佈函數（CDF）則用於描述隨機變量小於或等於給定值的概率。
它表示了隨機變量取值小於或等於某一特定值的概率。
CDF 是一個非遞減的函數，其值域在 0 到 1 之間。
CDF 的值在 x 處給出了小於或等於 x 的概率，即 F (x) = P (X ≤ x)。

CDF 是 PDF 的積分，也就是將 PDF 曲線下的面積進行累加。

高斯函數（Gaussian function）是一種數學函數，也稱為常態分佈函數（normal distribution function）或高斯分佈函數（Gaussian distribution function）。

f(x) = A * exp(-(x - μ)² / (2σ²))

σ = 標準差
σ² = 變異數
在這個公式中，f (x) 是函數在 x 點的值，A 是幅度（或最大值），μ 是平均值，σ 是標準差，exp 是自然指數函數。

高斯函數通常呈現一個對稱的鐘形曲線，其峰值位於平均值 μ 的位置。標準差 σ 確定了曲線的寬度，越大曲線越寬，越小曲線越窄。