# 求法向量

要求一個平面或線的法向量，可以使用幾何或向量運算的方法。法向量是與該平面或線垂直的向量。

以下是一個簡單的範例來說明如何求一個平面的法向量：

考慮一個平面的一般方程式：ax + by + cz + d = 0

根據這個方程式，我們可以觀察到，係數 a、b 和 c 對應於平面的法向量的 x、y 和 z 分量。

因此，平面的法向量是 N = (a, b, c)。

這樣，我們就找到了平面的法向量。

# 線性獨立

在線性代數中，線性獨立是指一組向量或一組函數的集合，其中沒有一個向量或函數可以表示為其他向量或函數的線性組合。

• 換句話說，如果一組向量或函數中的每個成員都 無法由其他成員線性組出 ，則該組向量或函數是線性獨立的。

以下是一個簡單的範例來說明線性獨立的概念：

二維平面上的兩個向量 v₁ = (1, 0) 和 v₂ = (0, 1)。
這兩個向量分別表示 x 軸和 y 軸的單位向量，它們是正交的並且長度為 1。
且 v₁ 不能被 v₂ 組合而成，所以是線性獨立。

現在有另一個向量 v₃ = (2, 3)。
假設存在標量 a 和 b，使得 av₁ + bv₂ = v₃。
將上述等式展開，我們可以得到以下方程組：
a(1, 0) + b(0, 1) = (2, 3)
將方程組分解為兩個方程：
a = 2
b = 3
因此，向量 v₃ 可以由向量 v₁ 和 v₂ 的線性組合表示，即 2v₁ + 3v₂ = v₃。
這組向量 {v₁, v₂, v₃} 是線性相關的，而不是線性獨立的。

# 餘弦相似

餘弦相似（Cosine Similarity）是一種衡量兩個向量之間相似性的度量方法。
它基於餘弦定理，通過計算兩個向量之間的夾角來評估它們的相似度。

餘弦相似的取值範圍在 -1 到 1 之間，
其中值越接近 1，表示兩個向量越相似，值越接近 -1，表示兩個向量越不相似，值為 0 表示兩個向量之間沒有相似性。

以下是一個簡單的範例來說明餘弦相似的計算：

假設有兩個二維向量 v₁ = (1, 2) 和 v₂ = (3, 4)。

首先，計算這兩個向量的內積（dot product）：
v₁ · v₂ = (1 * 3) + (2 * 4) = 3 + 8 = 11

接下來，計算每個向量的長度（歐幾里得範數）：
||v₁|| = √(1² + 2²) = √5 ≈ 2.236
||v₂|| = √(3² + 4²) = √25 = 5

然後，計算餘弦相似度：
similarity = v₁ · v₂ / (||v₁|| * ||v₂||) = 11 / (2.236 * 5) ≈ 0.984

從上述計算結果可以看出，這兩個向量的餘弦相似度約為 0.984，接近於 1，表示它們在方向上非常相似。

# 一個方陣要怎麼求反矩陣

1. 高斯 - 喬登消去法（Gaussian-Jordan elimination）
   a. 將右邊放上基本矩陣
   $\begin{bmatrix} a & b & c & 1 & 0 & 0 \\ d & f & g & 0 & 1 & 0 \\ h & i & j & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

• b. 將左邊做列運算至基本矩陣
  c. 可得右邊為反矩陣
  $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & ? & ? & ? \\ 0 & 1 & 0 & ? & ? & ? \\ 0 & 0 & 1 & ? & ? & ? \end{bmatrix}$

2. 矩陣的伴隨矩陣（adjugate matrix）。

以下是一個簡單的範例來說明如何求一個方陣的反矩陣：

2x2的求法

考慮一個 2x2 的方陣 A：
$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$

首先，計算方陣 A 的行列式（determinant）：
det(A) = ad - bc

接下來，計算方陣 A 的伴隨矩陣（adjugate matrix） B：
$B = \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix}$

最後，計算反矩陣（inverse matrix） A⁻¹：
A⁻¹ = (1/det(A)) * B
= (1/(ad - bc)) * $\begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix}$